তো চলুন, শুরু করা যাকঃ
ধরি, অজানা সংখ্যা X
তাহলে,
11 + X = 42
বা, X = 42 - 11
বা, X = 31 (Ans.)
এইগুলা আসলে ষষ্ঠ শ্রেণির অংক। আমি এমনিতেই একটু বললাম আরকি। এবার তাহলে আসল প্রমান শুরু করা যাক .....
প্রমানঃ
ধরি,
³√1 = x
বা, x = ³√1
বা, x³ = 1 [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x³ - 1 = 0
বা, (x)³ - (1)³ = 0
বা, (x - 1) (x² + x + 1) = 0 [যেহেতু, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab +b²)]
হয়, x - 1 = 0 অথবা, x² + x + 1 = 0
বা, x = 1 ; বা, 1.x² + 1.x + 1 = 0
-1±√(1²-4.1.1) -b ± √(b²-4ac)
বা, x = ───────── [ যেহেতু, ax² + bx + c = 0 হলে, x = ───────── ]
2.1
2a
-1±√(1-4)
বা, x = ───────
2
-1±√(-3)
বা, x = ──────
2
-1+√(-3) -1-√(-3)
হয়, x = ────── বা, x = ──────
2 2
-1+√(-3) -1-√(-3)
অতএব, x = 1 বা, ────── বা, ──────
2 2
সুতরাং, ³√1 বা ঘনমূল ১ এর মান তিনটি। কিন্তু, এখানে ঘনমূল ১ এর বাস্তব মান
১ টি এবং অবাস্তব বা জটিল মান ২ টি। তাই, আমাদের ক্যালকুলেটরে শুধুমাত্র
বাস্তব মানটি দেখায়। অবাস্তব বা জটিল মান দুটি দেখায় না। যারা জটিল
সংখ্যা ভালো পারেন, তাদের কাছে এইটা কোনো ব্যাপারই না।
যাই হোক, আরেকদিন ইনশাআল্লাহ্ জটিল সংখ্যা নিয়ে লিখবো। এবং, এটাও প্রমান করে দিবো যে,
-1+√(-3) -1-√(-3)
কিভাবে, ω = ─────── এবং, ω²= ─────── হয়?
2 2