আজকের টপিক "জটিল সংখা" বা "Imagine Number" এর "ω এবং ω²" নিয়ে। তো চলুন, শুরু করিঃ
"ω এবং ω²" হচ্ছে ³√1 এর দুটি মূল। আগের পর্বে আমরা দেখেছিলাম, "³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)".
-1+√(-3) -1-√(-3)
সেখানে আমরা দেখতে পাই যে, ³√1 এর মান তিনটি, যথাঃ 1 বা, ────── বা, ──────. যেখানে,
2 2
-1+√(-3) -1-√(-3)
ω = ─────── এবং, ω²= ─────── ধরা হয়। কিন্তু কেন?
2 2
-1-√(-3) -1+√(-3) -1+√(-3)
─────── কি আসলেই ─────── এর বর্গের সমান? অথবা, ─────── কে বর্গ করলে কি
2 2 2
-1-√(-3)
আমরা আসলেই ─────── পাবো? তো চলুন, দেখা যাকঃ
2
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
{-1+√(-3)}²
বা, ω² = ─────── [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
2²
(-1)²+2(-1)√(-3)+{√(-3)}²
= ───────────────── [যেহেতু, (a + b)² = a² + 2ab + b²]
4
1-2√(-3)+(-3)
= ──────────
4
1-2√(-3)-3
= ───────
4
-2-2√(-3)
= ───────
4
2{-1-√(-3)}
= ─────────
2 x 2
-1-√(-3)
= ──────
2
-1-√(-3)
সুতরাং, ω² = ──────
2
-1+√(-3) -1-√(-3)
অর্থাৎ, ω = ─────── হলে, ω²= ───────
2 2
[প্রমাণিত]
আর তাই, জটিল সংখ্যার অনেক অংকে আমরা লিখি যে,
-1+√(-3) -1-√(-3)
ধরি/ আমরা জানি, ω = ────── এবং, ω²= ──────
2 2
