১. ³√1=? (এক এর ঘনমূল কত?)
২. জটিল সংখ্যায় ω এবং ω² বলতে কি বোঝায়???
বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং
ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! :) !
কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ
সূত্রাবলীঃ
সূত্র ১: ω³=1
সূত্র ২: 1+ω+ω²=0
সূত্র দুটির প্রমানঃ
সূত্র ১ এর প্রমাণঃ
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ─────── ...................... (i)
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ─────── ...................... (ii)
2
(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,
-1+√(-3) -1-√(-3)
ω.ω² = ─────── x ───────
2 2
{(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}
বা, ω³ = ──────────────
2 x 2
(-1)² - {√(-3)}²
= ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]
4
1 - (-3)
= ──────
4
1 + 3
= ─────
4
4
= ──
4
= 1
সুতরাং, ω³=1
[প্রমাণিত]
সূত্র ২ এর প্রমাণঃ
1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)
অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
-1+√(-3)
ω = ───────
2
-1-√(-3)
এবং, ω²= ───────
2
সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²
-1+√(-3) -1-√(-3)
= 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]
2 2
2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}
= ──────────────────
2
2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)
= ───────────────
2
2 - 2
= ────
2
0
= ──
2
= 0
অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0
[প্রমাণিত]
