বাচ্চাকালের (a+b)²

বীজগণিত জগতে পা দেবার পর প্রথম যেই ৫ টি সূত্র আমরা শিখেছিলাম, তার একটি হচ্ছেঃ

(a+b)²=a²+2ab+b²

৬ষ্ঠ শ্রেণি থেকেই যা আমাদের থাডা মুখস্ত! আজও অনেক অংক সমাধানের কাজে যা একান্তভাবে প্রয়োজন। কিন্তু, এই সূত্রটা আসলে কিসের সূত্র?

উত্তরঃ এটি আসলে বর্গের ক্ষেত্রফলের সূত্র।

কিভাবে?

কারন, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য c হলে আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল= c²

তেমনি, c কে যদি আমরা a ও b দুইটাভাগে ভাগ করি, তাহলে, c=a+b

অতএব, c²=(a+b)²

তাহলে এখন আমরা জানি, (a+b)² হচ্ছে কোন বর্গের ক্ষেত্রফল।

সূত্র প্রতিষ্ঠাকরণ

গল্প দিয়ে শুরু এবং শেষঃ গণিত পণ্ডিতেরা যখন কোন বর্গক্ষেত্রের আর আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করা শিখল, তখন তারা শিখল যে,

কোন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (বাহু)²

এবং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ

যদি কোন বর্গের যেকোনো এক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় c, তাহলে তার ক্ষেত্রফল= c²

চিত্রে দেখানো হলঃ

একদিন তাদের মধ্যে একজন বর্গক্ষেত্রের বাহুকে অসমান দুইভাগে ভাগ করলো। অর্থাৎ, প্রথমে বাহু যদি হয় c, পরে সে c কে এমন ভাবে ভাগ করলো যাতে c=a+b হয়। চিত্রে a ও b কে খণ্ডিত করে দেখানো হলঃ

এখানে দেখা যাচ্ছে, c কে দুই অংশে ভাগ করায় c=a+b হয়। অর্থাৎ, এক্ষেত্রে এই বর্গের নতুন ক্ষেত্রফল=(বাহু)²=c²=(a+b)²

এখন, এই (a+b)² এর মান বের করাই হচ্ছে আসল উদ্দেশ্য। যা হবে (a+b)² এর সূত্র।

সুত্র প্রমাণের আগে নিচের চিত্রটি দেখে নিই...

দেখা যাচ্ছে, বাহুগুলোকে সংযোগ করার পর বড় যেই অংশটা থেকে যাচ্ছে, তার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং যার ক্ষেত্রফল= a². অপরদিকে ছোট অংশটার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য b এবং এর ক্ষেত্রফল= b²

কিন্তু আরও দুইটা অংশ থেকে যাচ্ছে। যেই অংশ দুটি আয়তক্ষেত্র। এবং, চিত্রানুসারে এদের দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b

অতএব, এদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল= দৈর্ঘ্য X প্রস্থ= a x b= ab

নিচের চিত্রে দেখানো হলঃ

সুতরাং, দুইটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল= ab + ab= 2ab

এখন, সমগ্র বর্গের ভেতরের ক্ষেত্রফলগুলো যোগফল= a²+b²+ab+ab = a²+b²+2ab = a²+2ab+b²

অতএব, (a+b)²= a²+2ab+b²

আর এভাবেই আমরা পেলাম (a+b)²= a²+2ab+b²