গড়
গড়: একজাতীয় একাধিক রাশির সমষ্টি বা যোগফলকে সেই রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ওই রাশিগুলোর গড় বলা হয়। সুতরাং, গড় = রাশিগুলোর যোগফল — রাশির সংখ্যা। যেমন, প্রশ্নে আছে: ৮, ১০, ১৭, ২৮ ও ৩৭ সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয় করো।
এখানে সংখ্যা আছে ৫টি এবং এদের যোগফল ১০০। এখন আগে বর্ণিত আলোচনা ও সূত্র অনুসারে এই ১০০কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যাবে ২০। সুতরাং, ৮, ১০, ১৭, ২৮ ও ৩৭-এর গড় হবে ২০। এখন অঙ্কটি সমাধানের জন্য কীভাবে সাজাতে হবে তা দেখা যাক।
সমাধান:
এখানে, রাশিগুলোর যোগফল = (৮ + ১০ + ১৭ + ২৮ + ৩৭) = ১০০
রাশিগুলোর সংখ্যা = ৫
সুতরাং, রাশিগুলোর গড় = ১০০ — ৫ = ২০
উত্তর: নির্ণেয় গড় ২০।
এ নিয়ম অনুসারে আমরা অনুশীলনী ৬-এর ১ নম্বর প্রশ্নের ‘ক’ থেকে ‘চ’ পর্যন্ত সমাধানের চেষ্টা করতে পারি। এবার এসো, এ অনুশীলনীর কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার আদর্শ সমাধান দেখা যাক।
প্রশ্ন: মলি বার্ষিক পরীক্ষায় বাংলায় ৬৮, গণিতে ৯৬, ইংরেজিতে ৮১, পরিবেশ পরিচিতি বিজ্ঞানে ৭৭ এবং পরিবেশ পরিচিতি সমাজে ৭৩ নম্বর পেয়েছে। সে প্রতি বিষয়ে গড়ে কত নম্বর পেয়েছে?
সমাধান: মলি বার্ষিক পরীক্ষায়
বাংলায় পেয়েছে ৬৮ নম্বর
গণিতে পেয়েছে ৯৬ ,,
ইংরেজিতে পেয়েছে ৮১ ,,
পরিবেশ পরিচিতি বিজ্ঞানে পেয়েছে ৭৭ ,,
পরিবেশ পরিচিত সমাজে পেয়েছে ৭৩ ,,
মলি ৫টি বিষয়ে মোট পেয়েছে ৩৯৫ নম্বর
সুতরাং, ৫টি বিষয়ে গড়ে পেয়েছে ৩৯৫ নম্বর — ৫ = ৭৯ নম্বর
সে প্রতি বিষয়ে গড়ে ৭৯ নম্বর পেয়েছে।
উত্তর: ৭৯ নম্বর।
প্রশ্ন: অপু ও দীপুর গড় বয়স ২২ বছর। দীপু ও টিপুর গড় বয়স ২৩ বছর। অপুর বয়স ২১ বছর; দীপু ও টিপুর বয়স কত?
সমাধান:
অপু ও দীপু ২ জনের গড় বয়স ২২ বছর
অপু ও দীপু ২ জনের বয়সের যোগফল (২২ x ২) = ৪৪ বছর
আবার,
দীপু ও টিপু ২ জনের গড় বয়স ২৩ বছর
দীপু ও টিপু ২ জনের বয়সের যোগফল (২৩ x ২) = ৪৬ বছর
এখন,
অপু ও দীপুর বয়সের যোগফল ৪৪ বছর
অপুর বয়স (-) ২১ বছর
সুতরাং, দীপুর বয়স ২৩ বছর
আবার,
দীপু ও টিপুর বয়সের যোগফল ৪৬ বছর
দীপুর বয়স (-) ২৩ বছর
সুতরাং, টিপুর বয়স ২৩ বছর
অতএব, দীপুর বয়স ২৩ বছর এবং টিপুর বয়স ২৩ বছর।
উত্তর: দীপু ও টিপু প্রত্যেকের বয়স ২৩ বছর।
প্রশ্ন: সাতটি সংখ্যার যোগফল ৪০১। প্রথম তিনটি সংখ্যার গড় ৫৬ এবং শেষের তিনটি সংখ্যার গড় ৫৮। চতুর্থ সংখ্যটি কত?
সমাধান: এখানে,
প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ৫৬
প্রথম ৩টি সংখ্যার যোগফল (৫৬ x ৩)
= ১৬৮
আবার,
শেষের ৩টি সংখ্যার গড় ৫৮
শেষের ৩টি সংখ্যার যোগফল (৫৮ x ৩)
= ১৭৪
এখন,
প্রথম ৩টি সংখ্যার যোগফল ১৬৮
শেষের ৩টি সংখ্যার যোগফল ১৭৪
প্রথম ৩টি + শেষ ৩টি = ৬টি সংখ্যার যোগফল ৩৪২
এখানে,
৭টি সংখ্যার যোগফল ৪০১
প্রথম ৩টি + শেষ ৩টি = ৬টি সংখ্যার যোগফল (-) ৩৪২
চতুর্থ সংখ্যা ৫৯
সুতরাং, চতুর্থ সংখ্যাটি ৫৯
উত্তর: ৫৯।
প্রশ্ন: তিন সন্তান ও তাদের পিতার গড় বয়স ১৭ বছর। ওই তিন সন্তান ও তাদের মাতার গড় বয়স ১৩ বছর। মাতার বয়স ২২ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধান: এখানে,
৩ সন্তান + পিতা = ৪ জনের বয়সের গড় ১৭ বছর
৪ জনের বয়সের যোগফল (১৭ x ৪) বছর
= ৬৮ বছর।
আবার,
৩ সন্তান + মাতা = ৪ জনের বয়সের গড় ১৩ বছর
৪ জনের বয়সের যোগফল (১৩x৪) বছর
= ৫২ বছর
এখন,
৩ সন্তান ও মাতার বয়সের যোগফল ৫২ বছর
মাতার বয়স (-) ২২ বছর
সুতরাং, ৩ সন্তানের বয়স ৩০ বছর
এখানে,
৩ সন্তান ও পিতার বয়সের যোগফল ৬৮ বছর
৩ সন্তানের বয়স (-) ৩০ বছর
সুতরাং, পিতার বয়স ৩৮ বছর
উত্তর: ৩৮ বছর।
গড়: একজাতীয় একাধিক রাশির সমষ্টি বা যোগফলকে সেই রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ওই রাশিগুলোর গড় বলা হয়। সুতরাং, গড় = রাশিগুলোর যোগফল — রাশির সংখ্যা। যেমন, প্রশ্নে আছে: ৮, ১০, ১৭, ২৮ ও ৩৭ সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয় করো।
এখানে সংখ্যা আছে ৫টি এবং এদের যোগফল ১০০। এখন আগে বর্ণিত আলোচনা ও সূত্র অনুসারে এই ১০০কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যাবে ২০। সুতরাং, ৮, ১০, ১৭, ২৮ ও ৩৭-এর গড় হবে ২০। এখন অঙ্কটি সমাধানের জন্য কীভাবে সাজাতে হবে তা দেখা যাক।
সমাধান:
এখানে, রাশিগুলোর যোগফল = (৮ + ১০ + ১৭ + ২৮ + ৩৭) = ১০০
রাশিগুলোর সংখ্যা = ৫
সুতরাং, রাশিগুলোর গড় = ১০০ — ৫ = ২০
উত্তর: নির্ণেয় গড় ২০।
এ নিয়ম অনুসারে আমরা অনুশীলনী ৬-এর ১ নম্বর প্রশ্নের ‘ক’ থেকে ‘চ’ পর্যন্ত সমাধানের চেষ্টা করতে পারি। এবার এসো, এ অনুশীলনীর কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার আদর্শ সমাধান দেখা যাক।
প্রশ্ন: মলি বার্ষিক পরীক্ষায় বাংলায় ৬৮, গণিতে ৯৬, ইংরেজিতে ৮১, পরিবেশ পরিচিতি বিজ্ঞানে ৭৭ এবং পরিবেশ পরিচিতি সমাজে ৭৩ নম্বর পেয়েছে। সে প্রতি বিষয়ে গড়ে কত নম্বর পেয়েছে?
সমাধান: মলি বার্ষিক পরীক্ষায়
বাংলায় পেয়েছে ৬৮ নম্বর
গণিতে পেয়েছে ৯৬ ,,
ইংরেজিতে পেয়েছে ৮১ ,,
পরিবেশ পরিচিতি বিজ্ঞানে পেয়েছে ৭৭ ,,
পরিবেশ পরিচিত সমাজে পেয়েছে ৭৩ ,,
মলি ৫টি বিষয়ে মোট পেয়েছে ৩৯৫ নম্বর
সুতরাং, ৫টি বিষয়ে গড়ে পেয়েছে ৩৯৫ নম্বর — ৫ = ৭৯ নম্বর
সে প্রতি বিষয়ে গড়ে ৭৯ নম্বর পেয়েছে।
উত্তর: ৭৯ নম্বর।
প্রশ্ন: অপু ও দীপুর গড় বয়স ২২ বছর। দীপু ও টিপুর গড় বয়স ২৩ বছর। অপুর বয়স ২১ বছর; দীপু ও টিপুর বয়স কত?
সমাধান:
অপু ও দীপু ২ জনের গড় বয়স ২২ বছর
অপু ও দীপু ২ জনের বয়সের যোগফল (২২ x ২) = ৪৪ বছর
আবার,
দীপু ও টিপু ২ জনের গড় বয়স ২৩ বছর
দীপু ও টিপু ২ জনের বয়সের যোগফল (২৩ x ২) = ৪৬ বছর
এখন,
অপু ও দীপুর বয়সের যোগফল ৪৪ বছর
অপুর বয়স (-) ২১ বছর
সুতরাং, দীপুর বয়স ২৩ বছর
আবার,
দীপু ও টিপুর বয়সের যোগফল ৪৬ বছর
দীপুর বয়স (-) ২৩ বছর
সুতরাং, টিপুর বয়স ২৩ বছর
অতএব, দীপুর বয়স ২৩ বছর এবং টিপুর বয়স ২৩ বছর।
উত্তর: দীপু ও টিপু প্রত্যেকের বয়স ২৩ বছর।
প্রশ্ন: সাতটি সংখ্যার যোগফল ৪০১। প্রথম তিনটি সংখ্যার গড় ৫৬ এবং শেষের তিনটি সংখ্যার গড় ৫৮। চতুর্থ সংখ্যটি কত?
সমাধান: এখানে,
প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ৫৬
প্রথম ৩টি সংখ্যার যোগফল (৫৬ x ৩)
= ১৬৮
আবার,
শেষের ৩টি সংখ্যার গড় ৫৮
শেষের ৩টি সংখ্যার যোগফল (৫৮ x ৩)
= ১৭৪
এখন,
প্রথম ৩টি সংখ্যার যোগফল ১৬৮
শেষের ৩টি সংখ্যার যোগফল ১৭৪
প্রথম ৩টি + শেষ ৩টি = ৬টি সংখ্যার যোগফল ৩৪২
এখানে,
৭টি সংখ্যার যোগফল ৪০১
প্রথম ৩টি + শেষ ৩টি = ৬টি সংখ্যার যোগফল (-) ৩৪২
চতুর্থ সংখ্যা ৫৯
সুতরাং, চতুর্থ সংখ্যাটি ৫৯
উত্তর: ৫৯।
প্রশ্ন: তিন সন্তান ও তাদের পিতার গড় বয়স ১৭ বছর। ওই তিন সন্তান ও তাদের মাতার গড় বয়স ১৩ বছর। মাতার বয়স ২২ বছর হলে পিতার বয়স কত?
সমাধান: এখানে,
৩ সন্তান + পিতা = ৪ জনের বয়সের গড় ১৭ বছর
৪ জনের বয়সের যোগফল (১৭ x ৪) বছর
= ৬৮ বছর।
আবার,
৩ সন্তান + মাতা = ৪ জনের বয়সের গড় ১৩ বছর
৪ জনের বয়সের যোগফল (১৩x৪) বছর
= ৫২ বছর
এখন,
৩ সন্তান ও মাতার বয়সের যোগফল ৫২ বছর
মাতার বয়স (-) ২২ বছর
সুতরাং, ৩ সন্তানের বয়স ৩০ বছর
এখানে,
৩ সন্তান ও পিতার বয়সের যোগফল ৬৮ বছর
৩ সন্তানের বয়স (-) ৩০ বছর
সুতরাং, পিতার বয়স ৩৮ বছর
উত্তর: ৩৮ বছর।
