প্রাথমিক গণিত ( ১৮ পর্ব)

কোর্সটি একেবারে প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতের একটি কোর্স। বাংলাদেশের জাতীয় কারিকুলামের ৫ম শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের জন্য এই কোর্সটি ডিজাইন করা হয়েছে। তবে, কোর্সের শুরুতে প্রথম থেকে চতুর্থ শ্রেণী পর্যন্ত যে সকল মৌলিক বিষয় শিক্ষার্থীদের ইতোমধ্যে আয়ত্ত্ব হয়েছে তাও অন্তর্ভুক্ত থাকবে। অর্থাৎ এটি শুরু হবে সংখ্যার ধারণা, সংখ্যা লেখার পদ্ধতি, রোমান সংখ্যা পদ্ধতি হয়ে এখনকার দশমিক পদ্ধতি দিয়ে। এরপর সাধবরণ চার নিয়মের কিছু বিষয়। থাকবে মৌলিক সংখ্যার ধারণা এবং মৌলিক সংখ্যা চেনার উপায়। ফিরে দেখা হবে ঐকিক নিয়ম এবং যদিও সিলেবাসে নেই তারপর চলিত নিয়মের ধারণা। এরপর পঞ্চম শ্রেণীর পাঠ্যক্রমের গুণ, ভাগ, চার প্রক্রিয়া, গড়, লসাগু/গসাগু, গাণিতিক প্রতীক ও বাক্য, সাধারণ ও দশমিক ভগ্রাংশ, শতকরা, পরিমাপ, সময়, উপাত্ত বিন্যস্তকরণ এবং জ্যামিতি। সংখ্যার মত জ্যামিতিও মূল বিষয় থেকে শুরু হবে। পাঠ্যক্রম অনুসরণ করা হলেও এটি বই-এর ধারাবাহিকতা অনুসরণ করবে না।

কাদের জন্য কোর্স: প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের জন্য কোর্সটি ডিজাইন করা। তবে, ষষ্ট শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের কাজে লাগতে পারে।

লেকচার ১ : যেভাবে গণনার শুরু-

আমরা শুরু করছি গণণা দিয়ে। গণণা হল মানুষের প্রথম বুদ্ধিমত্তার প্রকাশ। শিকার করা পশুর হিসাব রাখার জন্য গণণার শুরু। প্রথমে কিছু লাঠি ব্যবহার করেই সংখ্যার হিসাব রাখা হতো। পরে মানুষ যখন গুহার দেয়ালে লিখতে শুরু করলো তথনই সে কাঠিকে একটি দাগ দিয়ে প্রকাশ করতে শুরু করে।
কাঠি দিয়ে সাধারণ যোগ বা বিয়োগ করা যেত। তবে, যখনই সংখ্যা বেশি হয়ে গেল তখনই বোঝা গেল কাঠি পদ্ধতিতে আর যাই হোক ভাল মানের গণনা হবে না। তখন শুরু হল চিহ্নের ব্যবহার।
এখনো অনেক পাইকারি বাজারে হিসাব রাখার জন্য লাঠি ব্যবহার করা হয়।

 

লেকচার ২: রোমান সংখ্যা-

আমাদের আজকের বিষয় রোমান সংখ্যা পদ্ধতি।
কাঠি দিয়ে গণনার হিসাব রাখাটা যখন ক্রমাগত কঠিন হয়ে উঠলো তখনই মানুষ ভাবতে শুরু করলো সংখ্যাকে চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা যায় কি না। রোমান, মায়া এবং ইনকা সভ্যতার সবটাতেই চিহ্ন দিয়ে সংখ্যার প্রকাশ দেখা যায়। তবে, আমরা কেবল রোমান সংখ্যা পদ্ধতি আলোচনা করবো। এতে আমরা এই ধরণের পদ্ধতির ভাল-মন্দ বুঝতে পারবো।
রোমানরা বিভিন্ন সংখ্যা প্রকাশের জন্য তাদেরই বর্ণমালার কয়েকটি বর্ণকে বেছে নেয়। এগুলো হল –
I – এক       V – পাঁচ      X- দশ               L-পঞ্চাশ
C-একশ     D- পাঁচশ     M – এক হাজার।
আর সংখ্যা লেখার পদ্ধতিটি সহজ। বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যার চিহ্নগুলো বাম থেকে ডানে পরপর লেখা হবে। সম্পূর্ণ সংখ্যাটি হবে প্রতিটি চিহ্নের মানের যোগফল। যেমন
VII – সাত
XV- পনের ইত্যাদি।
এভাবে দেখা গেল চার লিখতে হচ্ছে IIII এভাবে। তখন ভাবা হল বেশি যোগ না করে বিয়োগ করেও সংখ্যা প্রকাশ করা যায় কিনা। তখন ঠিক হলো একটি বড় মানের চিহ্ন থেকে কেবল একবার একটি ছোট মানের চিহ্ন বিয়োগ বোঝানোর জন্য ছোটটি বড়টির বামপাশে বসানো হবে আর মান হবে বড়সংখ্যা থেকে ছোটটির বিয়োগ ফল। যেমন
IX – নয়
CD – চারশ। ইত্যাদি। আর অনেক বড় সংখ্যা বোঝানোর জন্য সংখ্যার ওপর একটি দাগ (বার) দিয়ে হাজার গুন বোঝানো হবে। দেখা যাক এভাবে কতদূর যাওয়া যায়।

লেকচার ৩: দশমিক পদ্ধতির সূচনা-

আমাদের আজকের বিষয় দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির সূচনা।
গত ক্লাসে আমরা দেখেছি রোমানরা কাঠির পরিবর্তে চিহ্ন ব্যবহার করে গণণার একটি পদ্ধতি বের করেছে। সেটি ছিল কেবল যোগাত্মক। অর্থাৎ প্রতিটি চিহ্নের একটি, কেবল একটি মান থাকে। পাশাপামি থাকলে সেই মানগুলোর যোগফল, সাধারণভাবে, সম্পূর্ণটার সংখ্যামান প্রকাশ করে।
যেমন XXX হল ত্রিশ।
আর যদি বড় মানের কোন চিহ্নের বামপাশে ছোট মানের কোন চিহ্ন একবার থাকে তাহলে বড়টার তেকে ছোটটার বিয়োগফল হবে তার সংখ্যা মান। যেমন IX হল নয়।রোমান সংখ্যার মধ্যে সবচয়ে বড় হল হাজার। আর যেকোন চিহ্নের ওপর একটি বার দিয়ে তাকে হাজার গুন করা যায়।
এখন পৃথবী থেকে সূর্যের দূরত্ব যদি রোমান সংখ্যায় লিখতে হয় তাহলে মোটামোটি আমার সারাদিন চলে যাবে। এই সীমাবদ্ধতা কাটিযে তোলার বুদ্ধি বের করে ভারতীয় গণিতবিদেরা। আর্যভর্ট আবিস্কার করেন শূন্যের চিহ্ন।
শূণ্যের ব্যাপারটা খুবই কৌথুহল উদ্দীপক।
নাসির উদ্দিন হোজ্জার কথা আমরা অনেকেই জানি। এই জ্ঞানী লোকটি আমার নিজেরও খুব পছন্দের লোক। তা এক সময় তিনি কিছুদিন ছায়া কাজীর কাজ করতেন। একদিন দুইজন লোক তার কাছে আসে। অভিযোগকারী অন্য লোকটিকে দেখিয়ে বলে- বাজারে এই লোকটির কিছু জিনিস মাথা তেকে পড়ে যায়। আমি তখন তার কিছু জিনিষ তার বাসায় পৌছে দেই। তাকে জিঙ্হাষা করি – আমি এগুলো পৌছে দিলে আমাকে কি দেবে? সে বলেছে – কিছু না।
আমি তার জিনিষ বাসায় পৌছে দিয়েছি। কিন্তু রোকটা আমাকে “কিছু না ” দিচ্ছে না। কাজী সাহেব, আমাকে তার কাছ থেকে কিছু না আদায় করে দিন।
হোজ্জা কেমন করে এই সমস্যার সমাধান করলেন? আর তার সঙ্গে কেমন করে আমাদের দশমিক পদ্ধতি জড়িত।

লেকচার ৪: দশমিক পদ্ধতির বিকাশ-

আমাদের আজকের বিষয় দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির বিকাশ।
গতদিন আমরা রোমান সংখ্যার সীমাবদ্ধতা এবং এ থেকে বাঁচার জন্য দশমিক পদ্ধতির খবর জেনেছি। দশমিক পদ্ধতিতে ১০টি চিহ্ন রয়েছে যাদেরকে বলা হয় ভঙ্ক বা জিজিট। এগুলো হল – ০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯।
দশমিক পদ্ধতির বাহাদুরী হল শূণ্যের আবিস্কার এবং স্থানীয় মানের ব্যবহার। এখানে আমরা দেখেছি ১২ এর ১ আর ১২৩ এর ১ – দুইটবর মান এক নয়, যদিও তার পরম মান কিন্তু এক!
ভারতীয় গণিতবিদদের হাতে এটার জন্ম হলেও এখন এটি আরবীয় পদ্ধতি নামে পরিচিত।
আমাদের দেশে সেই সময় সবচেয়ে বড় যে সংখ্যাটি লেখা যেত সেটি ছিল পরার্ধ। পরার্ধ  হল ১ এর পর ১৭টি শূণ্য দিলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
আমরা অবশ্য এখন আর পরার্ধ , পদ্ম কিংবা মহাপদ্ম ব্যবহার করি না। কোটিতে গিয়ে ক্ষ্যামা দেই।
এব

লেকচার ৫: বড় সংখ্যা ও ছোট সংখ্যা-

আমাদের আজকের লেকচারের বিষয়বস্তু সংখ্যার তুলনা।
দশমিক পদ্ধতি সব অঙ্কের একটি করে পরম মান আছে। আবার পজিশনের কারণে তার একটি স্থানীয় মানও হয়।
যেকোন সংখ্যার ক্ষেত্রে সবচেয়ে দ্ব্যার্থক অঙ্কটি হলে সবচেয়ে বামের অঙ্কটি।
১০টি অঙ্কের মধ্যে ৯টি কিন্তু সার্থক অঙ্ক। (১-৯)। এদের নিজের মান আছে। ০ বেচারা কিন্তু সহযোগী অঙ্ক। কাজে ও শুরুতে বসে কোন সংখ্যা ৈতরি করতে পারে না। কাজে বড় সংখ্যা আর ছোট সংখ্যার হসাব নেওয়ার সময় এটা মাথায় রাখতে হবে।

লেকচার ৬: যোগ বিয়োগ-

আমাদের সংখ্যা চেনার কাজ শেষ। এখন আমাদের কাজ হবে সংখ্যা নিয়ে বিভিন্ন অপারেশন করা। আজকের বিষয় হল সে পদ্ধতিটি রিভিউ করা যেখানে একাধিক সংখ্যা একত্রে যে নতুন সংখ্যাটির সমান হয় সেটি বের করা। এটি হল যোগ করা। আর একটি কাজ আমরা করবো যেখানে একটি বড় সংখ্যা থেকে একটি ছোট সংখ্যাকে বাদ দিলে কত থাকে সেটি বের করা।  এটি হল বিয়োগ।

শেষে দুইটি অংক করতে দেওয়া হয়েছে।

লেকচার ৭: যোগ-বিয়োগের দুইটি সমস্যা-

ইতিমধ্যে আমরা দশমিক পদ্ধতির সংখ্যাগুলোকে চিনেছি এবং কীভাবে দুই বা ততোধিক সংখ্যা একত্রে যে সংখ্যার সমান সেটি বের করতে শিখেছি। পাশাপাশি আমরা দেখেছে কীভাবে একটি বড় সংখ্যা থেকে একটি ছোট সংখ্যাকে বিয়োগ করা যায়।  এই দুইটি আমাদের প্রথম দিককার দুইটি গাণিতিক প্রক্রিয়া বা অপারেশন। আজকে আমরা দুইটি সস্যার সমাধান করার চেষ্টা করবো এই অপারেটরের সাহায্যে।
দুইটি সমস্যায় কিন্তু ধ্রুপদী সমস্যা। এর মধ্যে প্রথম সমস্যার সাধারণ রূপ হল –
দুইট সংখ্যার যোগফল ১৬। এর একটি অপরটি থেকে ২ বড়। সংখ্যা দুইটি কত? আমরা এটিকে বাস্তব জীবনের সঙ্গে সম্পর্কিত করার জন্য বলেছি ১৬টি মার্বেল করিম ও রহিমের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করতে হবে যেন করিমের মার্বেল রহিমের মার্বেলের চেয়ে সংখ্যায় দুইটি বেশি হয়।
আমরা প্রথমে সত্যিকারের ১৬টি মার্বেল নিয়ে এই সমস্যর সমাধান করার চেষ্টা করেছি। তারপর সেটাকে আমরা কাগজে কলমে করার চেস্টা করেছি।
আমরা দেখেছি দুইভাবেই আমরা ৯ এবং ৭ বের করতে পারছি।
যোগ-বিয়োগের দ্বিতীয় সমস্যাটি হল একটি জাদুবর্গের সমস্যা।
নিচের ছবিতে একটি বর্গক্ষেত্র দেখানো হয়েছে যেখানে ছোট ছোট ৯টি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। সমস্যা হল ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো সেখানে এমনভাবে বসাতে হবে যেন প্রতিটি সারি, কলাম বা আড়াআড়ি সংখ্যা তিনটি যোগ করলে যোগফল সব সময় ১৫ হবে।তো, এই বিখ্যাত যাদু বর্গটি কিন্তু খুব সহজে যোগ-বিয়েগের মাধ্যমে করা যায়। এজন্য প্রথমে বের করতে হয় ঠিক মাঝখানে কত বসবে। তানপর যে কোন একটা কোনাকুনি বের করতে হয়। এটুকু করতে পারলেই কিন্ত কাজটা হয়ে যায়। এখানে আমরা দেখেছি ৪,৫ ও ৬ কে বসানোর পর ৯ কে ৬ এর সঙ্গে একই সারি বা কলামে রাখা যায় না। তখন ৯ এর জন্য মাত্র দুইটি সম্ভাব্য ঘর থাকে। সেগুলোর যে কোন একটাতে বসানোর পর বাকী ঘরগুলো যোগ করে আর ১৫ থেকে বিয়োগ করে করে ফেলা যায়। খুবই সহজ।
তো হয়ে যাক।

লেকচার ৮: গুন-

লেকচার ৯: ভাগ-

যখন আমরা কোন পূর্নসংখ্যা থেকে অন্য একটি পূর্ণসংখ্যা একবার একবার করে কমাতে থাকি তখন সেটিকে বলে ভাগ করা। যদি সব শেষে কোন সংখ্যা না থাকে তাহলে আমরা বলি প্রথমি সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যা দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য। আর প্রথম সংখ্যাটিকে আমরা বলি দ্বিতীয় সংখ্যার গুণিতক। দ্বিতীয় সংখ্যা হল প্রথম সংখ্যার গুণনীয়ক।
যেমন আমরা যদি ৬টি লিচু থেকে প্রতিবারে ২টা করে নেই তাহলে তিনবারের মাথায় সব শেষ হয়ে যাবে। কাজে ৬ হল ২ এর গুণিতক এবং ২ হল ৬ এর গুণনীয়ক। একটি সংখ্যার কেবল একটি গুননীয়ক থাকে না। একাধিক থাকতে পারে। ৬টি লিচু থেকে যদি আমরা ৩টা করেও নেই তাহলেও কিন্ত শেষে কিছু থাকবে না। অর্থাৎ ৩ সংখ্যাটিও ৬ এর একটি গুননীয়ক। এখন লিচু যদি ৬ এর থেকে ১টি বেশি থাকতো তাহলে সেখান থেকে ২ট বা ৩টি করে নিলে সবসময় ১টা থেকে যেত। তারমানে এভাবে আমরা রুবাই-এর সমস্যার সমাধান করতে পারি। আবার একটা জিনিষ খেয়াল করো ৬ না হয়ে যদি সংখ্যাটা ৬এর গুনিতক কোন সংখ্যা যেমন ১২, ১৮, ২৪ হয় তাহলেও কিন্তু ২ আর ৩ এর ব্যাপারটা সত্য হবে।
আমরা শুরু করেছি ৬ দিয়ে এবং ২ আর ৩ কে পেয়েছি। কিন্তু যদি আমরা শুরু করতাম ২ আর ৩ থেকে তাহলে আমরা কীভাবে ৬ এ পৌছাতাম?
সোজা। কারণ এখন আমরা জেনেছি ৬ হলো ২ এবং ৩ এর গুনিতক। যেহেতু দুইটু সংখ্যার গুনিতক কাজে আমরা বলতে পারি সাধারণ গুনিতক। আর এটা আমরা বের করতে পারি ২ আর ৩ এর সব গুনিতক বের করে। - See more at: http://munirhasan.com/primarymath4/#sthash.9THar540.dpuf

সাধারণ চারি নিয়মের শেষেরটি হল ভাগ। ভাগ মানে হল একটি বড় সংখ্যা থেকেতার ছোট একটি সংখ্যা কতবার নেওয়া যায় সেটা বের করার একটি পদ্ধতি। নেওয়া র পর যদি আর কিছু না থাকে তাহলে পপ্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যা দ্বারা ণি:শেষে বিভাজ্য বলা যায়।
আমরা ক্লাসে চলে যাই।

লেকচার ১০ ও ১১: প্রথম চার নিয়মের চারটি সমস্যা-

যোগ-বিযোগ-গুন-ভাগের ওপর ভাল দখল থাকাটা গণিতের জন্য খুবই দরকারি। এ জন্য দরকার অনেক অনেক চর্চ্চা। এখানে ১০ ও ১১ নম্বর লেকচারে চারটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। দেখা যাবে সাধারণ চার নিয়ম দিয়েই অনেক গুরুত্বপূর্ণ  গণিত করা যায়। তো দেখা যাক-
লেকচার-১০

লেকচার ১২: বিভাজ্যতা-

প্রাথমিক গণিত কোর্সের বিভাজ্যতার পাঠ।
গণিতে বিভাজ্যতার ব্যাপারটা ভালভাবে বুঝতে পারলে অনেক সমস্যা সমাধান করা যায় সহজে। একটি বড় সংখ্যার দিকে সামান্য নজর দিলে সেটি ২,৩,৪,৫,৮ বা ৯ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য কিনা তা সহজে বোঝা যায়। কেমন করে সেটিই আলোচনা করা হয়েছে এই ক্লাসে।
বিভাজ্যতার নিয়ম বোঝার জন্য  সংখ্যাপাতন মনে রাখা দরকার। এর মানে হল – ১২৩৪ কে আমরা লিখতে পারি এভাবে-
১২৩৪=১X১০০০+২X১০০+৩X১০+৪X১
এখন ১০০, ১০০০ বা ১০ এর মধ্যে যে সংখ্যার বিভাজ্যতা খোঁজা হচ্ছে সেটা বের করতে পারলেই কাজটা অনেক সোজা হয়ে যায়।
এবার তাহলে ভিডিওতে চলে যাওয়া যাক।

লেকচার ১৩:মৌলিক সংখ্যা-

এর মধ্যে আমরা যে কোন সংখ্যাকে তার গুননীয়কে বা উৎপাদকে ভাগ করা যায় এটা জেনেছি। কোন সংখ্গুযার ননীয়ক বা উৎপাদক হল সে সংখ্যা যাকে দিয়ে ঐ সংখ্যাকে নি:শেষে ভাগ করা যায়। কিন্তু দেখা গেছে কিছু কিছু সংখ্যা আছে যে গুলোকে ১ বা সে সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না। এরকম সংখ্যাই হলো মৌলিক সংখ্যা।
প্রাথমিক গণিতের ক্লাসের এবারের বিষয় হল – মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যা চিনতে পারাটা জরুরী তবে এখন পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা বের করার কোন সূত্র আবিস্কার হয়নি।
কোন একটি সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা কী না এটা বের করার পদ্ধতি হল সংখ্যাটিকে তার চেয়ে ছোট সব মৌলিক সংখ্যা দিয়ে এক এক করে ভাগ করে দেখা। তবে, সবগুলো দিয়ে ভাগ করতে হবে এমন নয়। একটা উদাহরণ দেওয়া যাক।
৫৪৭ মৌলিক সংখ্যা কি না এটা জানা যাক। দেখা যাচ্ছে এটি ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭,১৯, ২৩,২৯ এর কোনটি দ্বারাই নি:শেষে ভাগ যায় না। কিন্তু ২৯ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৮ এবং ভাগশেষ থাকে ২৫। প্রশ্ন হচ্ছে ৫৪৭ মৌলিক কী না এটা বোঝার জন্য আমাকে কী আরো ভাগ করতে হবে?
দেখা যাচ্ছে, ২৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হচ্ছে ২৯এর ছোট। তার মানে ২৯ থেকে বড় যে কোন মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ৫৪৭কে ভাগ করলে ভাগফল অবশ্য ঐ সংখ্যা থেকে ছোট হবে। এখন ৫৪৭ যদি মৌলিক সংখ্যা না হয় তাহলে অবশ্যই ঐ ভাগফল সংখ্যাটি দিয়ে নি:শেষে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ ৫৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
তাহলে, মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ বুদ্ধি হল কোন সংখ্যাকে ২ থেকে শুরু করে পর্যায়ক্রমে মৌলিক সংখ্যাগুলোদিয়ে ভাগ করা যতক্ষণ পর্যন্ত না ভাগফল ভাজকের চেয়ে ছোট হয়। যদি সংখ্যাটি মৌলিক না হয় তাহলে ভাগশেষ থাকবে না। কিন্তু যদি ভাগশেষ থাকে তাহলে সংখ্যাটি মৌলিক।
এবার তাহলে আমরা লেকচারে চলে যাই।

লেকচার ১৪:মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষন-

আগের পর্বে আমরা মৌলিক সংখ্যা চিনেছি। এখন আমরা জানি ১ থেকে বড় পূর্ণ সংখ্যাদের দুইটি দল- মৌলিক সংখ্যা এবং কৃত্রিম সংখ্যা।
কৃত্রিম সংখ্যার যেহেতু দুই-এর অধিক উৎপাদক থাকে কাজে আমরা চেষ্টা কররে যে কোন মৌলিক সংখ্যাকে এর ভেতরের মৌরিক সংখ্যাগুলোর গুনফল হিসাবে প্রকাশ করতে পারি।
এজন্য আমাদের আসলে কী করতে হয়?
যে কোন সংখ্যার মৌরিক উৎপাদকগুলো বের করার জন্য ঐ সংখ্যাকে ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩… এভাবে মৌলিক সংখ্যাগুলোদিয়ে পর্যায়ক্রমে ভাগ করে দেখতে হয় সেটি কোন কোন মৌলিক সংখ্যা দিয়ে নি:শেষে বিভাজ্য। তবে, আলাদাভাবে না করেও এটি করা যায়।
যেমন ধরা যাক ১২। ১২ এর এককের সংখ্যা যেহেতু ২ কাজে এটি জোড় সংখ্যা এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য। ২ দিয়ে ১২ কে ভাগ করলে ভাগফল হবে ৬ যা কিনা আবার ২ দিয়ে বিভাজ্য। এভাবে আমরা ভাগ করতে থাকলে পাবো-
১২=২X২X৩
এর মানে হল প্রথম উৎপাদকটা পেলে পরে সেই উৎপাদকেদিয়ে ভাগের ভাগফলটা নিয়ে একই কাজ করা যাবে।
এই কাজটাই আমরা বোঝার চেষ্টা করেছি। এবারের পর্বে।

লেকচার ১৬:গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (২য় পর্ব)-

একাধিক সংখ্যা থাকলে তাদের গুননীয়কদের মধ্যে এক বা একাধিক সাধারণ গুননীয়ক থাকতে পারে। এর মধ্যে সবচেযে বড় বা গরিষ্ঠ গুননীয়কই হল গ,সা,গু। আগের পর্বে আমরা দেখেছি কেমন করে মৌলিক উৎপাদক বের করে গসাগু নির্ণয় করতে হয়। এবারের পর্বে রয়েছে ইউক্লিডের পদ্ধতিতে গসাগু নির্নয়। এটি খুবই সহজ পদ্ধতি।
এই পদ্ধতিতে একাধিক সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি দিয়ে পরের সংখ্যাটিকে ভাগ করা হয়। যদি ভাগশেষ না থাকে তাহলে তো কেল্লা ফতে। যদি ভাগশেষ থাকে তাহলে ভাগশেষ দিয়ে লঘুতর সংখ্যাটি (মানে ভাজক)কে ভাগ করা হয় এবং এটি পর্যায়ক্রমে করা হয়। একসময় যখন ভাগশেষ থাকে না, তখন শেষ ভাজকটি হয় ঐ দুই সংখ্যার গসাগু। এরপর ঐ গসাগু আর পরের সংখ্যা নিয়ে একই কাজ করা হয়। এভাবে উদ্দিষ্ট গসাগু পাওয়া যায়।
প্রশ্ন হচ্ছে কেন এটি সত্য? বা কেন এই ভাবে গসাগু বের করা যায়?
এই লেকচারে সেই কারণটাই ব্যাখ্যা করা হয়েছে। তারপর সেটার একটা প্রয়োগ দেখানো হয়েছে।
গসাগু বের করতে সিদ্ধহস্ত হতে হলে এই পদ্ধতি এবং আগের পদ্ধতি দুটোতেই দক্ষ হতে হবে।
সবার জন্য শুভেচ্ছা।

লেকচার ১৭:লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (১ম পর্ব)-

আমরা একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুননীয়কগুলো বের করতে শিখেছি। আজকে আমরা দেখবো গুণিতকের ব্যাপারটা। একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকের মধ্যে যেটি ক্ষুদ্রতম সেটিই তাদের লসাগু বা লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক বা লসাগু।
এবার লেকচার।

লেকচার ১৮:লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (২য় পর্ব)-

একাধিক সংখ্যার লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু নির্ণয় করার একটা সহজ পদ্ধতি হল সংখ্যাগুলোর একটি গুণিতক টেবিল বানানো, যেমনটা আমরা আগের ক্লাসে করেছিলাম। তবে, সহজ হলেও এটি একটি দীর্ধ প্রক্রিয়া এবং সময় সাপেক্ষ। এছাড়াও লসাগু পাওয়ার জন্য একটি সহজ পদ্ধতি হল সংখ্যাগুলোকে মৌরিক উৎপাদকে বিশ্লেষন করা এবং সাধারণ উৎপাদকগুলো একবার করে নিয়ে তার সঙ্গে অন্য উৎপাদকগুলো নিয়ে গুন করা। তাহলে লসাগু পাওয়া যায়।
দুইটি সংখ্যার লসাগু আর গসাগুর মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে সেটিও এই লেকচারে আমরা আলাপ করবো।

লেকচার-১৯: গ.সা.গু / ল.সা.গু সংক্রান্ত সমস্যা 

এরই মধ্যে গসাগু এবং লসাগু কেমন করে বের করতে হয় সেটা আমরা এর মধ্যে দেখেছি। এছাড়া দুইটি সংখ্যার গসাগু-লসাগু এবং তাদের গুনফলের মধ্যে সম্পর্কও আমরা দেখেছি। এখন এগুলো প্রয়োগ করে আমরা কয়েকটি সমস্যা সমাধান করে দেখবো। সমস্যাগুলো হল –
১.  কোন্ ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সঙ্গে ৩ যোগ করলে সংখ্যাটি ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
২.  দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৬ ও ল.সা.গু ১৯২। একটি সংখ্যা ৪৮। অপরটি কত?
৩. পাঁচটি ঘন্টা প্রথমে একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ মিনিট অন্তর বাজতে লাগল। কত সময় পরে সবগুলো একত্রে আবার বাজবে?
৪.  কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৭২৮ ও ৯০০ কে ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ৮ ও ৪ হবে?
৫.  কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৬১, ৯৩৩ ও ১৩৮১ কে ভাগ করলে প্রতিবার ৫ অবশিষ্ট থাকিবে?
এখন দেখা যাক কীভাবে এই সমস্যাগুলোর সমাধান করা যায়।

লেকচার-২২: ভগ্নাংশ-

এতদিন পর্যন্ত আমরা পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে কাজ করেছি। অর্থাৎ এই সংখ্যাগুলো হলে ১-কে একাধিক বার নেওয়ার ফল। আজকে আমাদের আলোচনার বিষয় ১-এর অংশ কে এক বা একাধিক বার নিয়ে যে সংখ্যাগুরো তৈরি হয় তাদের নিয়ে। এই সব সংখ্যাকে বলা হয় ভগ্রাংশ। আজকের আলোচনা সামান্য ভগ্রাংশ নিয়ে। পরের ক্লাসে আমরা দেখবো মিশ্র ভগ্রাংশ

সৌজন্যে শিক্ষকের পরিচিতি 
মুনির হাসান শিক্ষায় বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয়ের স্নাতক, তড়িৎ ও ইলেকট্রনিক কৌশল বিভাগের। তারপর কাজ করেছেন বুয়েটের ইনস্টিটিউট অব ইনফরমেশন এন্ড কমিউনিকেশন সেন্টারে (আইআইসিটি) ২০০৪ সাল পর্যন্ত। এর পর জাতিসংঘ উন্নয়ন কর্মসূচীর দুইটি প্রকল্পে কাজ করেন। ১৯৯৯ সাল থেকে তিনি দেশে গণিত শিক্ষাকে জনপ্রিয় করার জন্য কাজ করছেন। ২০০১ সালে অধ্যাপক মুহম্মদ জাফর ইকবাল ও অধ্যাপক মোহাম্মদদ কায়কোবাদের সঙ্গে যুক্ত থেকে দেশে গণিত অলিম্পিয়াড কার্যক্রমের সূচনব করেন। সেই থেকে বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সাধারণ সম্পাদকের দায়িত্ব পালন করছেন। দৈনিক প্রথম আলোর গণিত আয়োজন গণিত ইশকুলের সম্পাদনা করেছেন। গণিতকে জনপ্রিয় করার জন্য লেখালেখি করেন। কয়েকটি বই লিখেছেন প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের জন্য। বর্তমানে প্রথম আলো পত্রিকার যুব কর্মসূচীর সমন্বয়কারী হিসাবে কাজ করছেন। 

সৌজন্যে---